დრეკადობის ციკლურად სიმეტრიული საკონტაქტო ამოცანა (მეორე სტუდენტური კონფერენცია)

მოცემულ პოსტში განვიხილავ დრეკადობის ბრტყელი თეორიის ციკლურად სიმეტრიულ ამოცანას ორად ბმული არისთვის, რომლის გარე საზღვარი წარმოადგენს წესიერ ექვსკუთხედს, ხოლო შიდა საზღვარი არის თანაბრად მტკიცე ხვრელი.

ხვრელი არის თანაბრად მტკიცე, რომელზედაც ტანგენციალური ნორმალური ძაბვბი მუდმივია.

მოცემული დრეკადი სხეულის საზღვრის ყოველ წრფივ მონაკვეთზე მოდებულია სწორფუძიანი აბსოლუტურად გლუვი შტამპები, რომელზედაც მოქმედებს შეყურსული P ძალები. მოცემული დრეკადი სხეულის ზედაპირსა და შტამპებს შორის ხახუნი არ არსებობს.

Picture1

საზღვარზე მხების ძაბვები უდრის ნოლს და ნორმალური გადაადგილებები უბან-უბან მუდმივებია. სანამ გადავალთ უშუალოდ ამოცანის დასმაზე, შემოვიტანოთ აღნიშვნები:

Picture2

და დავსვათ ამოცანა:

Picture3

ამ ამოცანის ამოხსნის საუკეთესო გზაზა კომპლექსურ ანალიზთა მეთოდი, კერძოდ კოლოსოვ-მუსხელიშვილის ფორმულები, რომლის მეშვეობითაც დასმული ამოცანა დაიყვანება ψ და φ ფუნქციების მოძებნაზე, რომლებიც ჰოლომორფულია (წარმოებადია) D-ში და აკმაყოფილებენ შემდეგ პირობებს.

Picture4

აქედან გარკვეული გამოთვლებითა და ანალიზით (საზღვარზე აკმაყოფილებს გარკვეულ პირობებს) გამოდის, რომ ერთ-ერთი პოტენციალი წრფივი ფუნქციაა:

Picture5

აქედან, ანალიზურ ფუნქციათა თეორიის სასაზღვრო ამოცანა მარტივად ბმული გრაფისთვის, რომელიც შეიცავს უცნობი კონტურის ნაწილს, ასე გადაიწერება :

Picture6

შემოვიღოთ გადამყვანი ფუნქცია Z=ω(ς),

Picture7

Picture8

რადგან ჩვენი ამოცანა არის ციკლურად სიმეტრიული და დიამეტრი გადაისახება საძიებელი ხვრელის მცირე ფრაგმენტში, ნაპოვნი პრაგმენტი შეგვიძლია დავატრიალოთ წრეზე და მივიღოთ ხვრელის სრული ფორმა. აღსანიშნავია ისიც, რომ a2 (იგივე θ2) თუ ახლოს არის 0-თან ხვრელი იქნება ფართო, ხოლო თუ ახლოს არის π/2- თან ხვრელი იქნება უფრო ვიწრო.

w ფუნქციის გამოყენებით ჩვენი ფუნქცია მიიღებს შემდეგ სახეს:Picture9

Picture10

მტკიცდება, რომ ფუნქცია W ჰოლომორფულია მთელს წრეში, ამიტომ ამ ფუნქციის მიმართ მივიღებთ რიმან-ჰილბერტის ამოცანას მთელი წრისთვის

Picture11

საბოლოოდ ჩვენი ამოცანა მიიყვანება დირიხლეს ამოცანაზე წრისთვის, რომელსაც აქვს შემდეგი სახე:

asd

asddasddd

ზემოთ განხილულ განტოლებაში (ერთი განტოლება ორი უცნობით) ჩვენ დავაფიქსირეთ a2(θ2) წერტილი და ამოვხსენით ეს განტოლება K-ს მიმართ. ანუ ყოველი ფიქსირებული a2(θ2)-თვის მივიღეთ ერთადერთი K.

საბოლოოდ ჩვენი ამოცანა მიიღებს შემდეგ სახეს:

Picture12

 

ახლა კი ვნახოთ გრაფიკები ფიქსირებული a2(θ2)-თვის და P-თვის (გარეგანი ძალა, რომელიც მოქმედებს სხეულზე).

1 2 3 4

Leave a Reply / უპასუხე

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / შეცვლა )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / შეცვლა )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / შეცვლა )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / შეცვლა )

Connecting to %s